数学基础

傅里叶分析：时域与频域的桥梁

• 核心思想：把函数表示为多个正弦或余弦函数（复指数函数）的叠加，即傅里叶分解。
  • 联想：幂级数分解（泰勒展开）。
• 核心价值：实现了时域视角向频域视角的转换。我们不只看信号随时间如何变化（时域），还看它包含什么样的频率成分（频域）。
• 线性代数视角：任何能量有限的信号（平方可积函数），都可视为无穷维函数空间中的一个向量。它等于一组正交基（不同频率的复指数函数）的线性组合。

傅里叶级数

将一个周期信号，分解成一系列频率为基频整数倍的谐波之和。此时频谱离散。

• $𝑓\left(𝑡\right)={\sum }_{𝑛=-\infty }^{\infty }{𝑐}_{𝑛}{𝑒}^{𝑖𝑛{𝜔}_0𝑡}$ ，其中 ${𝜔}_0$ 为基频，${𝑐}_{𝑛}$ 为傅里叶系数，其取值亦为复数，能同时表示谐波的幅度和相位。
• ${𝑐}_{𝑛}=\frac{1}{𝑇}{\int }_0^{𝑇}𝑓\left(𝑡\right){𝑒}^{-𝑖𝑛{𝜔}_0𝑡}𝑑𝑡$ ，为傅里叶系数的求法（从时域函数中提取频域信息）。
  • 从复指数函数的角度理解，只有指数互为相反数的两个复指数函数相乘，才能使周期内积分不为0；从三角函数角度理解，只有相同的三角函数相乘，才能使周期内积分不为0。
  • 本质是利用正交性进行匹配滤波。让信号与基向量做内积，由基的正交性，只会留下相应方向上的坐标。

傅里叶变换

可以视为傅里叶级数中周期趋于无穷。针对非周期信号，变换为连续的频谱密度函数。

• $𝐹\left(𝜔\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }𝑓\left(𝑡\right){𝑒}^{-𝑖𝜔𝑡}𝑑𝑡$ .
• 逆变换 $𝑓\left(𝑡\right)=\frac{1}{2𝜋}{\int }_{-\infty }^{\infty }𝐹\left(𝜔\right){𝑒}^{𝑖𝜔𝑡}𝑑𝜔$ .

实际应用

• 离散傅里叶变换（DFT）：针对数字信号。时域和频域都是离散且有限长的。
• 快速傅里叶变换（FFT）：DFT的高效算法，利用周期性和对称性，极大降低了运算的复杂度。
• 实时频谱分析仪：对音频分帧、加窗、FFT、取模后显示。即计算信号在各频率基上的坐标。
  • 加窗：在时域乘以窗函数，让帧的两端平滑过渡到零，避免频谱泄露。
• 不确定性原理：时域宽度与频域宽度的乘积具有下界，二者不可兼得。
  • 直观理解：短暂的音符难以分辨音高，更长的时间才能带来更精准的频率。

拉普拉斯变换：复频域

理解指数函数：$𝑓\left(𝑡\right)=$$𝑈$˜𝑒𝑠𝑡

• 本质特征：函数与导数成线性关系 ${𝑓}^{\prime }\left(𝑡\right)=𝑠𝑓\left(𝑡\right)$ .
  • 比例系数 $𝑠$ 为复数时，即得到复指数函数。
  • 速度与位矢成线性关系时（固定倍数、夹角），质点的轨迹为复指数函数。
• 复频率 $𝑠=𝜎+𝑖𝜔$
  • 实部 $𝜎$ 为衰减常数，正负控制增长或衰减，大小控制速度，仅含实部时（速度与位矢共线时）为直线运动。
  • 虚部 $𝜔$ 为角频率，正负控制旋转方向，大小控制旋转（分量上表现为振荡）速度，仅含虚部时（速度与位矢垂直时）为匀速圆周运动。
• 复振幅 $$$𝑈$˜=𝐴𝑒𝑖𝜑0 ，其中 $𝐴$ 为振幅，${𝜑}_0$ 为初始相位。

常系数齐次线性微分方程的解法：指数函数的运用

• 线性微分方程：未知函数 $𝑦$ 及其各阶导数 ${𝐷}^{𝑛}𝑦$ 都是一次的微分方程，满足叠加原理。
  • 微分算子 $𝐷=\frac{𝑑}{𝑑𝑡}，{𝐷}^{𝑛}=\frac{{𝑑}^{𝑛}}{𝑑{𝑡}^{𝑛}}$ .（算子的乘法/幂次定义为算子的复合）
  • 线性微分算子 $𝐿={\sum }_{𝑖=0}^{𝑛}{𝑎}_{𝑖}\left(𝑡\right){𝐷}^{𝑖}$ .
  • 线性微分方程可记作 $𝐿\left[𝑦\right]=𝑓\left(𝑡\right)$，有 $𝐿\left({𝑐}_1{𝑦}_1+{𝑐}_2{𝑦}_2\right)={𝑐}_1𝐿\left({𝑦}_1\right)+{𝑐}_2𝐿\left({𝑦}_2\right)$ .
• 齐次线性微分方程：$𝐿\left[𝑦\right]=0$，其解空间是一个线性空间。
  • 非齐次线性微分方程的通解 = 对应齐次线性微分方程的通解 + 非齐次线性微分方程的一个特解。
• 常系数线性微分方程：所有系数都是常数，此时 $𝐿=𝑃\left(𝐷\right)={\sum }_{𝑖=0}^{𝑛}{𝑎}_{𝑖}{𝐷}^{𝑖}$，（$𝐷$与常数系数可交换）$𝐿$ 是 $𝐷$ 的多项式，可以因式分解，将高阶方程降阶为一系列一阶方程求解。
  • 指数函数 ${𝑒}^{𝜆𝑡}$ 是 $𝑃\left(𝐷\right)$ 的特征函数，满足 $𝑃\left(𝐷\right){𝑒}^{𝜆𝑡}=𝑃\left(𝜆\right){𝑒}^{𝜆𝑡}$，在算子作用下只是乘上一个常数。
• 常系数齐次线性微分方程：$𝑃\left(𝐷\right)𝑦=0$ .
  • 设 $𝑦={𝑒}^{𝜆𝑡}$ ，微分方程转化为其特征方程 $𝑃\left(𝜆\right)=0$，求出特征根 ${𝜆}_{𝑖}$ ，${𝑒}^{{𝜆}_{𝑖}𝑡}$ 即为解空间的一组基。特别地，若有 $𝑘$ 重根 $𝜆$，则 ${𝑒}^{𝜆𝑡},𝑡{𝑒}^{𝜆𝑡},\dots ,{𝑡}^{𝑘-1}{𝑒}^{𝜆𝑡}$ 都为解空间的基。
  • 速度与位矢成线性关系的物理系统，对应一阶常系数齐次线性微分方程，其解为一个复指数函数。
  • 阻尼振子对应二阶常系数齐次线性微分方程，其一般解可由两个复指数函数线性表出。特征方程在欠阻尼时有两个共轭复根，临界阻尼时有重根，过阻尼时有两个负实根。

常系数线性微分方程的解法：拉普拉斯变换

拉普拉斯变换：将时域函数映射到复频域，定义为 $\mathrm{ℒ︀}\left\{𝑓\left(𝑡\right)\right\}=𝐹\left(𝑠\right)={\int }_0^{\infty }𝑓\left(𝑡\right){𝑒}^{-𝑠𝑡}𝑑𝑡$ .

• $𝑓\left(𝑡\right)={𝑒}^{𝑎𝑡}$ 时，$𝐹\left(𝑠\right)={\int }_0^{\infty }{𝑒}^{\left(𝑎-𝑠\right)𝑡}𝑑𝑡=\frac{1}{𝑠-𝑎}$，在极点 $𝑠=𝑎$ 处积分发散。（解析延拓后，$𝑠\in ℂ$）
• $𝑓\left(𝑡\right)$ 的每个 ${𝑒}^{{𝑎}_{𝑖}𝑡}$ 分量都表现为 $𝐹\left(𝑠\right)$ 的一个极点 ${𝑎}_{𝑖}$ .
• $\mathrm{ℒ︀}\left\{{𝑓}^{\prime }\left(𝑡\right)\right\}=𝑠𝐹\left(𝑠\right)-𝑓\left(0\right)$，拉普拉斯变换将微分转化为乘法。
• 对常系数线性微分方程 $𝑃\left(𝐷\right)𝑦=𝑓\left(𝑡\right)$ 作拉普拉斯变换，在复频域转化为代数方程 $𝑃\left(𝑠\right)𝑌\left(𝑠\right)-𝑄\left(𝑠\right)=𝐹\left(𝑠\right)$，解出 $𝑌\left(𝑠\right)$ 后再通过逆变换得到 $𝑦$ 的时域表达式 $𝑦\left(𝑡\right)={\mathrm{ℒ︀}}^{-1}\left\{𝑌\left(𝑠\right)\right\}$ .

几种典型函数的拉普拉斯变换

• 单位脉冲函数 $𝛿\left(𝑡\right)$，拉普拉斯变换为 $1$ .
• 单位阶跃函数 $1\left(𝑡\right)=1，\left(𝑡\ge 0\right)$，拉普拉斯变换为 $\frac{1}{𝑠}$ .
• 单位斜坡函数 $𝑓\left(𝑡\right)=𝑡，\left(𝑡\ge 0\right)$，拉普拉斯变换为 $\frac{1}{{𝑠}^2}$ .
• 单位加速度函数 $𝑓\left(𝑡\right)=\frac{{𝑡}^2}{2}，\left(𝑡\ge 0\right)$，拉普拉斯变换为 $\frac{1}{{𝑠}^3}$ .
• 指数函数 $𝑓\left(𝑡\right)={𝑒}^{𝑎𝑡}，\left(𝑡\ge 0\right)$，拉普拉斯变换为 $\frac{1}{𝑠-𝑎}$ .
• 正弦函数 $𝑓\left(𝑡\right)=sin\left(𝜔𝑡\right)，\left(𝑡\ge 0\right)$，拉普拉斯变换为 $\frac{𝜔}{{𝑠}^2+{𝜔}^2}$ .
• 余弦函数 $𝑓\left(𝑡\right)=cos\left(𝜔𝑡\right)，\left(𝑡\ge 0\right)$，拉普拉斯变换为 $\frac{𝑠}{{𝑠}^2+{𝜔}^2}$ .

控制系统的数学模型

基本概念

• 线性系统：满足叠加原理的系统。
• 线性时不变系统（线性定常系统）：系统的特性不随时间改变，可以用常系数线性微分方程描述。
  • $𝑃\left(𝐷\right)𝑦\left(𝑡\right)=𝑄\left(𝐷\right)𝑥\left(𝑡\right)$ ，其中 $𝑥\left(𝑡\right)$ 是输入（驱动函数），$𝑦\left(𝑡\right)$ 是输出（响应函数）。
• 传递函数：零初始条件下，系统输出与输入的拉普拉斯变换之比。
  • $𝐺\left(𝑠\right)=\frac{𝑌\left(𝑠\right)}{𝑋\left(𝑠\right)}=\frac{𝑄\left(𝑠\right)}{𝑃\left(𝑠\right)}=\frac{{𝑏}_0{𝑠}^{𝑚}+{𝑏}_1{𝑠}^{𝑚-1}+\dots +{𝑏}_{𝑚}}{{𝑎}_0{𝑠}^{𝑛}+{𝑎}_1{𝑠}^{𝑛-1}+\dots +{𝑎}_{𝑛}}$
  • 传递函数通常为有理分式，即 $𝑃、𝑄$ 都为实系数多项式。
  • 分母多项式 $𝑃\left(𝑠\right)$ 的次数 $𝑛$ 称为系统的阶数，称系统为 $𝑛$ 阶系统。
  • 特征方程 $𝑃\left(𝑠\right)=0$ 的根称为系统的极点，方程 $𝑄\left(𝑠\right)=0$ 的根称为系统的零点。
• 脉冲响应函数：系统对单位脉冲输入的响应输出。
  • 单位脉冲输入的拉普拉斯变换为1，因此系统的传递函数等于系统脉冲响应函数的拉普拉斯变换。
  • 通过用脉冲信号激励系统，测量系统的输出响应，就可以获得有关系统动态特性的全部信息。

自动控制系统

• 方框图的组成：方框单元、比较点、分支点。

• $𝑅\left(𝑠\right)$：参考输入量 (Reference) .
• $𝐸\left(𝑠\right)$：作用误差信号 (Error)，$𝐸\left(𝑠\right)=𝑅\left(𝑠\right)-𝐵\left(𝑠\right)$ .
• $𝐶\left(𝑠\right)$：控制系统/被控对象输出量 (Control output) .
• $𝐵\left(𝑠\right)$：反馈信号 (Back) .
• $𝐺\left(𝑠\right)$：前向传递函数，$𝐺\left(𝑠\right)=\frac{𝐶\left(𝑠\right)}{𝐸\left(𝑠\right)}$ .
• $𝐻\left(𝑠\right)$：反馈传递函数，$𝐻\left(𝑠\right)=\frac{𝐵\left(𝑠\right)}{𝐶\left(𝑠\right)}$ .
• 开环传递函数 = $\frac{𝐵\left(𝑠\right)}{𝐸\left(𝑠\right)}=𝐺\left(𝑠\right)𝐻\left(𝑠\right)$，描述反馈与误差（偏移量）之间的关系，刻画系统的固有特性。
• 闭环传递函数 = $\frac{𝐶\left(𝑠\right)}{𝑅\left(𝑠\right)}=\frac{𝐺\left(𝑠\right)}{1+𝐺\left(𝑠\right)𝐻\left(𝑠\right)}$，直接描述系统输出与输入之间的关系，决定了系统的动态特性。
  • 可以导出 $𝐸\left(𝑠\right)=\frac{𝐶\left(𝑠\right)}{𝐺\left(𝑠\right)}=\frac{𝑅\left(𝑠\right)}{1+𝐺\left(𝑠\right)𝐻\left(𝑠\right)}$ .
  • 闭环特征方程直接源于开环传递函数。通过分析开环传递函数，也能研究闭环系统的动态特性。

• 控制器：将被控对象输出量 $𝑐\left(𝑡\right)$ 与参考输入量 $𝑟\left(𝑡\right)$ 进行比较，确定误差 $𝑒\left(𝑡\right)$，并产生控制信号 $𝑢\left(𝑡\right)$ .
• 执行器：动力装置，根据控制器的输出信号，产生被控对象的输入量。
• 被控对象：系统的主体，接受执行器的输入量，并产生输出量 $𝑐\left(𝑡\right)$ .
• 传感器：测量被控对象的输出量，将其转化为特定信号反馈给控制器，用来与参考输入量进行比较。

PID控制器（比例-积分-微分）

控制器方程 $𝑢\left(𝑡\right)={𝐾}_{𝑝}𝑒\left(𝑡\right)+{𝐾}_{𝑖}{\int }_0^{𝑡}𝑒\left(𝜏\right)𝑑𝜏+{𝐾}_{𝑑}\frac{𝑑𝑒\left(𝑡\right)}{𝑑𝑡}\left({𝐾}_{𝑖}=\frac{{𝐾}_{𝑝}}{{𝑇}_{𝑖}}，{𝐾}_{𝑑}={𝐾}_{𝑝}{𝑇}_{𝑑}\right)$

传递函数 $\frac{𝑈\left(𝑠\right)}{𝐸\left(𝑠\right)}={𝐾}_{𝑝}\left(1+\frac{1}{{𝑇}_{𝑖}𝑠}+{𝑇}_{𝑑}𝑠\right)$

• $𝑈\left(𝑠\right)$：控制器输出信号，$𝐸\left(𝑠\right)$：作用误差信号，${𝐾}_{𝑝}$：比例增益，${𝐾}_{𝑖}$：积分增益，${𝐾}_{𝑑}$：微分增益
• ${𝑇}_{𝑖}$：积分时间常数，${𝑇}_{𝑑}$：微分时间常数，二者量纲均为时间。${𝑇}_{𝑖}$ 越大积分作用越弱，${𝑇}_{𝑑}$ 越大微分作用越强

控制系统的分析

瞬态响应和稳态响应分析

控制系统的时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成：

• 瞬态响应：系统从初始状态过渡到最终稳定状态的响应过程，会随时间衰减消失，由系统的初始状态决定，对应微分方程的通解。
• 稳态响应：系统经过足够长时间后的稳定输出状态，由系统的输入信号决定，对应微分方程的特解。

控制系统的动态特性

• 绝对稳定性：稳定指系统在任何有界输入下都能产生有界输出，不稳定则指系统在扰动下输出发散。
  • 系统稳定的充要条件：系统的所有闭环极点均位于复平面的左半部。
  • 系统在虚轴上的极点为单根，且其余极点均位于复平面的左半部时，系统为临界稳定，输出作等幅振荡，既不衰减，也不发散；若虚轴上的极点为重根，输出将发散。临界稳定无法物理实现，它不属于稳定。
• 相对稳定性：在系统已经绝对稳定的前提下，进一步衡量其稳定程度和抗干扰能力。
• 稳态误差：对于稳定系统，稳态输出与参考输出之间的差值，可以用来衡量系统精度。
  • 对于单位反馈控制系统，反馈传递函数 $𝐻\left(𝑠\right)=1$ ，系统的期望输出等于输入信号 $𝑟\left(𝑡\right)$ .
  • 则误差 $𝑒\left(𝑡\right)=𝑟\left(𝑡\right)-𝑐\left(𝑡\right)$ ，稳态误差 ${𝑒}_{𝑠𝑠}={lim}_{𝑡\to \infty }𝑒\left(𝑡\right)=𝑟\left(\infty \right)-𝑐\left(\infty \right)$ .

高阶系统的瞬态响应

对系统的闭环传递函数的分子分母多项式进行因式分解：

$$\frac{𝐶\left(𝑠\right)}{𝑅\left(𝑠\right)}=\frac{𝐾\left(𝑠-{𝑧}_1\right)\left(𝑠-{𝑧}_2\right)\dots \left(𝑠-{𝑧}_{𝑚}\right)}{\left(𝑠-{𝑝}_1\right)\left(𝑠-{𝑝}_2\right)\dots \left(𝑠-{𝑝}_{𝑛}\right)}$$

若闭环极点互不相同，对 $𝐶\left(𝑠\right)$ 进行部分分式展开：

$$𝐶\left(𝑠\right)=\frac{𝑎}{𝑠}+\sum _{𝑖=1}^{𝑛}\frac{{𝑎}_{𝑖}}{𝑠-{𝑝}_{𝑖}}$$

其中 ${𝑎}_{𝑖}={lim}_{𝑠\to {𝑝}_{𝑖}}\left(𝑠-{𝑝}_{𝑖}\right)𝐶\left(𝑠\right)$ 为极点 $𝑠={𝑝}_{𝑖}$ 的留数，各留数的大小确定了各分量的相对重要性。

• 如果闭环零点靠近某个闭环极点，则该极点的留数较小，相近的极点和零点相互抵消。
• 距离原点很远的极点，留数会很小，对应的瞬态响应项也会很小，且持续时间也很短。
• 具有很小留数的项可以忽略，则高阶系统可以用低阶系统近似表示。
• 将一对共轭复数极点写成一个 $𝑠$ 的二阶项，改写展开式，可知稳定高阶系统的响应曲线是一系列指数曲线与阻尼振荡曲线的叠加。

劳斯判据

劳斯判据给出系统稳定的充要条件，而不必实际求解特征方程的根。

设特征方程为 ${𝑎}_0{𝑠}^{𝑛}+{𝑎}_1{𝑠}^{𝑛-1}+\dots +{𝑎}_{𝑛-1}𝑠+{𝑎}_{𝑛}=0$，其中 ${𝑎}_{𝑖}$ 为实数。

• ${𝑎}_{𝑖}>0$ 是系统稳定（即所有特征根都位于复平面左半部）的必要条件。

• ${𝑎}_{𝑖}>0$ 的条件下，构造 $𝑛+1$ 行的劳斯阵列：

  

  其中前两行由特征方程的系数组成，且阵列满足递推关系：

  $\begin{array}{ccccc}\mathrm{<span\; style="white-space:\; pre-wrap">\; </span>}{𝑏}_1& =-\frac{1}{{𝑎}_1}\left|\begin{array}{cc}{𝑎}_0& {𝑎}_2\\ {𝑎}_1& {𝑎}_3\end{array}\right|& ，{𝑏}_2=-\frac{1}{{𝑎}_1}\left|\begin{array}{cc}{𝑎}_0& {𝑎}_4\\ {𝑎}_1& {𝑎}_5\end{array}\right|& ，{𝑏}_3=-\frac{1}{{𝑎}_1}\left|\begin{array}{cc}{𝑎}_0& {𝑎}_6\\ {𝑎}_1& {𝑎}_7\end{array}\right|& ，\dots \\ {𝑐}_1& =-\frac{1}{{𝑏}_1}\left|\begin{array}{cc}{𝑎}_1& {𝑏}_1\\ {𝑎}_3& {𝑏}_2\end{array}\right|& ，{𝑐}_2=-\frac{1}{{𝑏}_1}\left|\begin{array}{cc}{𝑎}_1& {𝑏}_1\\ {𝑎}_5& {𝑏}_3\end{array}\right|& ，{𝑐}_3=-\frac{1}{{𝑏}_1}\left|\begin{array}{cc}{𝑎}_1& {𝑏}_1\\ {𝑎}_7& {𝑏}_4\end{array}\right|& ，\dots \end{array}$
  则特征方程具有正实部的根的个数等于第一列元素符号变化的次数。
  系统稳定的充要条件是：劳斯阵列第一列元素全为正数。

• 将 $𝑠=$$𝑠$ˆ−𝜎 代入特征方程，并对以 $$$𝑠$ˆ 为变量的特征方程应用劳斯判据，可以得到位于 $𝑠=-𝜎$ 右侧的根的个数，作为评估系统相对稳定性的一个指标。

积分和微分控制作用对系统性能的影响

如果被控对象的传递函数中不存在积分器 $\frac{1}{𝑠}$ ，则对其进行比例控制时，阶跃输入信号的响应将存在稳态误差。积分控制作用可以累积过去的误差，消除稳态误差，但也会导致振幅缓慢衰减甚至不断增加的振荡响应，降低系统的相对稳定性。

微分控制作用可以预测未来的误差，提前进行修正，从而提高系统的相对稳定性。它虽然不直接影响稳态误差，但增加了系统的阻尼，从而允许比较大的比例增益 ${𝐾}_{𝑝}$ ，有助于改善系统的稳态精度。

单位反馈控制系统的稳态误差

终值定理给出了求系统稳态误差的简便方法：

$${𝑒}_{𝑠𝑠}=\underset{𝑡\to \infty }{lim}𝑒\left(𝑡\right)=\underset{𝑠\to 0}{lim}𝑠𝐸\left(𝑠\right)=\underset{𝑠\to 0}{lim}\frac{𝑠𝑅\left(𝑠\right)}{1+𝐺\left(𝑠\right)𝐻\left(𝑠\right)}$$

设单位反馈控制系统具有开环传递函数：

$$𝐺\left(𝑠\right)=\frac{𝐾\left({𝑇}_{𝑎}𝑠+1\right)\left({𝑇}_{𝑏}𝑠+1\right)\dots \left({𝑇}_{𝑚}𝑠+1\right)}{{𝑠}^{𝑁}\left({𝑇}_1𝑠+1\right)\left({𝑇}_2𝑠+1\right)\dots \left({𝑇}_{𝑝}𝑠+1\right)}$$

开环传递函数位于原点处的极点个数 $𝑁$ 称为控制系统的型别，称系统为 $𝑁$ 型系统。

• 系统的型别 $𝑁$ 直接决定了系统跟踪典型输入信号（如阶跃、斜坡、加速度信号）的稳态精度。
  • 要无差跟踪阶跃信号，系统至少是 1 型。定义静态位置误差常数 ${𝐾}_{𝑝}={lim}_{𝑠\to 0}𝐺\left(𝑠\right)=𝐺\left(0\right)$，则系统对单位阶跃输入的稳态误差 ${𝑒}_{𝑠𝑠}={lim}_{𝑠\to 0}\frac{𝑠}{1+𝐺\left(𝑠\right)}\frac{1}{𝑠}=\frac{1}{1+{𝐾}_{𝑝}}$。对于 0 型系统，${𝐾}_{𝑝}=𝐾$ 有限，稳态误差不为 0 ；对于 1 型及以上的系统，${𝐾}_{𝑝}=\infty$，稳态误差为 0 。
  • 要无差跟踪斜坡信号，系统至少是 2 型。定义静态速度误差常数 ${𝐾}_{𝑣}={lim}_{𝑠\to 0}𝑠𝐺\left(𝑠\right)$，则系统对单位斜坡输入的稳态误差 ${𝑒}_{𝑠𝑠}={lim}_{𝑠\to 0}\frac{𝑠}{1+𝐺\left(𝑠\right)}\frac{1}{{𝑠}^2}=\frac{1}{{𝐾}_{𝑣}}$。对于 0 型系统，${𝐾}_{𝑣}=0$，稳态误差为无穷大；对于 1 型系统，${𝐾}_{𝑣}=𝐾$ 有限，稳态误差不为 0 ；对于 2 型及以上的系统，${𝐾}_{𝑣}=\infty$，稳态误差为 0 。
  • 同理，可定义静态加速度误差常数等。静态误差常数是控制系统的品质指标，数值越大表示系统的稳态精度越高。
• 原点处的极点本质上是一个积分器 $\frac{1}{𝑠}$ ，提高系统的型别，相当于使系统多一层累积，从而能够消除更高阶输入信号的稳态误差。
• 增加系统的型别能够提高系统的稳态精度，但也会降低系统的相对稳定性，导致更慢的瞬态响应和更大的超调。

根轨迹分析

根轨迹：系统某一参数（通常为开环增益 $𝐾$）从 0 变化到无穷大时，系统的特征根（闭环极点）在复平面上的轨迹。根轨迹法能够直观判断系统性能如何随 $𝐾$ 变化，从而用于分析和设计控制系统。

根轨迹的绘制规则

• 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点（或无穷远）。
  • 设开环传递函数 $𝐺\left(𝑠\right)𝐻\left(𝑠\right)=𝐾\frac{𝑁\left(𝑠\right)}{𝐷\left(𝑠\right)}$ ，则特征方程 $1+𝐺\left(𝑠\right)𝐻\left(𝑠\right)=0$ ，即 $𝐷\left(𝑠\right)+𝐾𝑁\left(𝑠\right)=0$。
    当 $𝐾=0$ 时，特征根为开环极点；当 $𝐾\to \infty$ 时，特征根趋向于开环零点或无穷远。
• 根轨迹关于实轴对称。这是实系数多项式方程的根的特性。
• 根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点等可以分析确定。

频率响应分析

系统对正弦输入信号的稳态响应称为频率响应。频率响应法通过分析系统对不同频率正弦输入的响应，来评估系统的稳定性和性能。该方法可以利用对物理系统的测量数据，而不必推导出系统的数学模型。

可以证明，给稳定的线性时不变系统输入正弦信号 $𝑥\left(𝑡\right)=𝑋sin\left(𝜔𝑡\right)$，则系统的稳态输出为同频正弦信号 $𝑦\left(𝑡\right)=𝑌sin\left(𝜔𝑡+𝜑\right)$，且满足 $𝐻\left(𝜔\right)=\frac{𝑌}{𝑋}{𝑒}^{𝑖𝜑}$，其中频率响应函数 $𝐻\left(𝜔\right)$ 等于正弦传递函数 $𝐺\left(𝑖𝜔\right)$ .

• $𝐻\left(𝜔\right)$ 的模长表示系统对正弦输入信号幅值的增益，称为幅频特性；$𝐻\left(𝜔\right)$ 的幅角表示系统对正弦输入信号引入的相移，称为相频特性。频率响应函数是频率特性的复数表示。
• 系统的频率响应由系统的传递函数 $𝐺\left(𝑠\right)$ 唯一确定，而与系统的初始状态无关。
• 相比频率响应分析，时域瞬态响应分析更直观，但对高阶系统分析复杂，二者可以结合使用。